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1} = m a x {f（2，11 6），f（2，1 6）+ 2 0 } = m a x { 3 3，3 8 } = 3 8。
现在计算xi 值，步骤如下：若f ( 1 ,c) =f ( 2 ,c)，则x1 = 0，否则x1 = 1。接下来需从剩余容量c-w1中寻求最优解，用f (2, c-w1) 表示最优解。依此类推，可得到所有的xi (i= 1.n) 值。
在该例中，可得出f ( 2 , 11 6 ) = 3 3≠f ( 1 , 11 6 )，所以x1 = 1。接着利用返回值3 8 -p1=18 计算x2 及x3，此时r = 11 6 -w1 = 1 6，又由f ( 2 , 1 6 ) = 1 8，得f ( 3 , 1 6 ) = 1 4≠f ( 2 , 1 6 )，因此x2 = 1，此时r= 1 6 -w2 = 2，所以f (3,2) =0，即得x3 = 0。
动态规划方法采用最优原则（ principle of optimality）来建立用于计算最优解的递归式。所谓最优原则即不管前面的策略如何，此后的决策必须是基于当前状态（由上一次决策产生）的最优决策。由于对于有些问题的某些递归式来说并不一定能保证最优原则，因此在求解问题时有必要对它进行验证。若不能保持最优原则，则不可应用动态规划方法。在得到最优解的递归式之后，需要执行回溯（t r a c e b a c k）以构造最优解。
编写一个简单的递归程序来求解动态规划递归方程是一件很诱人的事。然而，正如我们将在下文看到的，如果不努力地去避免重复计算，递归程序的复杂性将非常可观。如果在递归程序设计中解决了重复计算问题时，复杂性将急剧下降。动态规划递归方程也可用迭代方式来求解，这时很自然地避免了重复计算。尽管迭代程序与避免重复计算的递归程序有相同的复杂性，但迭代程序不需要附加的递归栈空间，因此将比避免重复计算的递归程序更快。
应用
0/1背包问题
1. 递归策略
在例4中已建立了背包问题的动态规划递归方程，求解递归式（ 1 5 - 2）的一个很自然的方法便是使用程序1 5 - 1中的递归算法。该模块假设p、w 和n 为输入，且p 为整型，F(1,c) 返回f ( 1 ,c) 值。
程序15-1 背包问题的递归函数
int F(int i, int y)
{// 返回f ( i , y ) .
if (i == n) return (y < w[n]) ? 0 : p[n];
if (y < w[i]) return F(i+1,y);
return max(F(i+1,y), F(i+1,y-w[i]) + p[i]);
}
程序1 5 - 1的时间复杂性t (n)满足：t ( 1 ) =a；t（n）≤2t（n- 1）+b（n＞1），其中a、b 为常数。通过求解可得t (n) =O( 2n)。
2. 权为整数的迭代方法
当权为整数时，可设计一个相当简单的算法（见程序1 5 - 2）来求解f ( 1 ,c)。该算法基于例4所给出的策略，因此每个f (i,y) 只计算一次。程序1 5 - 2用二维数组f [ ][ ]来保存各f 的值。而回溯函数Tr a c e b a c k用于确定由程序1 5 - 2所产生的xi 值。函数K n a p s a c k的复杂性为( n c），而Tr a c e b a c k的复杂性为( n )。
程序15-2 f 和x 的迭代计算
template<class T>
void Knapsack(T p[], int w[], int c, int n, T** f)
{// 对于所有i和y计算f [ i ] [ y ]
// 初始化f [ n ] [ ]
for (int y = 0; y <= yMax; y++)
f[n][y] = 0;
for (int y = w[n]; y <= c; y++)
f[n][y] = p[n];
// 计算剩下的f
for (int i = n - 1; i > 1; i--) {
for (int y = 0; y <= yMax; y++)
f[i][y] = f[i+1][y];
for (int y = w[i]; y <= c; y++)
f[i][y] = max(f[i+1][y], f[i+1][y-w[i]] + p[i]);
}
f[1][c] = f[2][c];
if (c >= w[1])
f[1][c] = max(f[1][c], f[2][c-w[1]] + p[1]);
}
template<class T>
void Traceback(T **f, int w[], int c, int n, int x[])
{// 计算x
for (int i = 1; i < n; i++)
if (f[i][c] == f[i+1][c]) x[i] = 0;
else {x[i] = 1;
c -= w[i];}
x[n] = (f[n][c]) ? 1 : 0;
}
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