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第八章 查找(五)二叉排序树和它的建立 当用线性表作为表的组织形式时，可以有三种查找法。其中以二分查找效率最高。但由于二分查找要求表中结点按关键字有序，且不能用链表作存储结构，因此，当表的插入或删除操作频繁时，为维护表的有序性，势必要移动表中很多结点。这种由移动结点引起的额外时间开销，就会抵消二分查找的优点。也就是说，二分查找只适用于静态查找表。若要对动态查找表进行高效率的查找，可采用下面介绍的几种特殊的二叉树或树作为表的组织形式。不妨将它们统称为树表。下面将分别讨论在这些树表上进行查找和修改操作的方法。
二叉排序树
1、二叉排序树的定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
2、二叉排序树的特点
由BST性质可得：
（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。
3、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
KeyType key； //关键字项
InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型
4、二叉排序树上的运算
（1） 二叉排序树的插入和生成
①二叉排序树插入新结点的过程
在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：
(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。
②二叉排序树插入新结点的递归算法
【参见参考书目】
③二叉排序树插入新结点的非递归算法
void InsertBST(BSTree *Tptr，KeyType key)
{ //若二叉排序树 *Tptr中没有关键字为key，则插入，否则直接返回
BSTNode *f，*p=*TPtr； //p的初值指向根结点
while(p){ //查找插入位置
if(p->key==key) return；//树中已有key，无须插入
f=p； //f保存当前查找的结点
p=(key<p->key)?p->lchild：p->rchild；
//若key<p->key，则在左子树中查找，否则在右子树中查找
} //endwhile
p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode))；
p->key=key； p->lchild=p->rchild=NULL； //生成新结点
if(*TPtr==NULL) //原树为空
*Tptr=p； //新插入的结点为新的根
else //原树非空时将新结点关p作为关f的左孩子或右孩子插入
if(key<f->key)
f->lchild=p；
else f->rchild=p；
} //InsertBST
④二叉排序树的生成
二叉排序树的生成，是从空的二叉排序树开始，每输入一个结点数据，就调用一次插入算法将它插入到当前已生成的二叉排序树中。生成二叉排序树的算法如下：
BSTree CreateBST(void)
{ //输入一个结点序列，建立一棵二叉排序树，将根结点指针返回
BSTree T=NULL； //初始时T为空树
KeyType key；
scanf("％d"，&key)； //读人一个关键字
while(key){ //假设key=0是输人结束标志
InsertBST(&T，key)； //将key插入二叉排序树T
scanf("％d"，&key)；//读人下一关键字
}
return T； //返回建立的二叉排序树的根指针
} //BSTree
⑤二叉排序树的生成过程
由输入实例(5，3，7，2，4，8)，根据生成二叉排序树算法生成二叉排序树的过程【参见动画演示】http://www.shzx.net.cn/cms/oi/images/stories/datastruct/shuju31.swf
注意：
输入序列决定了二叉排序树的形态。
二叉排序树的中序序列是一个有序序列。所以对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质是对此关键字序列进行排序，使其变为有序序列。"排序树"的名称也由此而来。通常将这种排序称为树排序(Tree Sort)，可以证明这种排序的平均执行时间亦为O(nlgn)。
对相同的输入实例，树排序的执行时间约为堆排序的2至3倍。因此在一般情况下，构造二叉排序树的目的并非为了排序，而是用它来加速查找，这是因为在一个有序的集合上查找通常比在无序集合上查找更快。因此，人们又常常将二叉排序树称为二叉查找树。 |
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