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第八章 查找(七)二叉排序树上的查找
（3） 二叉排序树上的查找
①查找递归算法
在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
递归的查找算法：
BSTNode *SearchBST(BSTree T，KeyType key)
{ //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点，成功时返回该结点位置，否则返回NUll
if(T==NULL||key==T->key) //递归的终结条件
return T； //T为空，查找失败；否则成功，返回找到的结点位置
if(key<T->key)
return SearchBST(T->lchild，key)；
else
return SearchBST(T->rchild，key)；//继续在右子树中查找
} //SearchBST
②算法分析
在二叉排序树上进行查找时，若查找成功，则是从根结点出发走了一条从根到待查结点的路径。若查找不成功，则是从根结点出发走了一条从根到某个叶子的路径。
(1) 二叉排序树查找成功的平均查找长度
在等概率假设下，下面(a)图中二叉排序树查找成功的平均查找长度为
在等概率假设下，(b)图所示的树在查找成功时的平均查找长度为：
ASLb=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
注意：
与二分查找类似，和关键字比较的次数不超过树的深度。
(2)在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关
二分查找法查找长度为n的有序表，其判定树是惟一的。含有n个结点的二叉排序树却不惟一。对于含有同样一组结点的表，由于结点插入的先后次序不同，所构成的二叉排序树的形态和深度也可能不同
【例】下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的：
45，24，55，12，37，53，60，28，40，70
下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的：
12，24，28，37，40，45，53，55，60，70
在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关：
①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，亦是(n+1)/2。
②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。
③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。
(3)二叉排序树和二分查找的比较
就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。
就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)，因此更有效。二分查找所涉及的有序表是一个向量，若有插入和删除结点的操作，则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时，宜用向量作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作；若有序表里动态查找表，则应选择二叉排序树作为其存储结构。
(4)平衡二叉树
为了保证二叉排序树的高度为lgn，从而保证然二叉排序树上实现的插入、删除和查找等基本操作的平均时间为O(lgn)，在往树中插入或删除结点时，要调整树的形态来保持树的"平衡。使之既保持BST性质不变又保证树的高度在任何情况下均为O(lgn)，从而确保树上的基本操作在最坏情况下的时间均为O(lgn)。
注意：
①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。
②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。
③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。
④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树度高约为lgn，AVL树是接近最优的。 |
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